運動エネルギーが速度の２乗になるのが納得できない

・直線運動の運動エネルギーの方程式
　　(1/2)mv2
　　m:質量　v:速度
　　質量 m と速さ v の2乗に比例する。
・たとえば、1kgの物質が毎秒1mの速度で運動するとき、
　その運動エネルギーは0.5J(ジュール)である。
　2倍の毎秒2mの速度で運動するときは、
　運動エネルギーは2Jである。
　速度が2倍になると、エネルギーは4倍になる。
・しかし、これが腑に落ちない。
　感覚的には、速度0m/sから1m/sにする仕事量と、
　1m/sから2m/sにする仕事量とは同じ感じがするのである。
・でも、式から導かれる結果は、0m/sから1m/sで増えたエネルギー
　は0.5Jで、1m/sから2m/sで増えたエネルギーは1.5Jであり、
　3倍の違いがある。
・これは、エネルギーの定義が、力を加えた時間でなく、
　力を加えた距離であるからだろう。
　　エネルギー = 力×距離
　　力＝質量×加速度
・0m/sから1m/sにするときも、1m/sから2m/sにするときも、
　加える力が同じ1N(ニュートン)ならば、加える時間は同じ1s(秒)
　である。
　しかし、力を加えている間に移動している距離は違ってくる。
　0m/sから1m/sのときは0.5m、1m/sから2m/sのときは1.5mである。
　この違いが増えたエネルギーの違いに比例する。

・エネルギーの定義を「力×時間」に変えてしまった方が分かり易
　いのではないかと思えてくる。そうすると「質量×速度」という
　もっと単純な式になる。こっちの方が感覚に合っている。
・しかし、物理学はうまくできていて、「力×距離」でやった方が
　全体として辻褄が合う。
・重力による位置エネルギーとの整合性を保つためには、
　「力×距離」にする必要がある。
・重力による位置エネルギーの方程式
　　mgh
　　m:質量　g:重力加速度　h:高さ
　　質量 m と高さ h に比例する。
　　重力加速度は、9.80665m/s2。
　　以下では計算しやすくするため、10m/s2として計算する。
・たとえば、1kgの物質を5m持ち上げたとき、
　その位置エネルギーは50J(ジュール)である。
　2倍の10m持ち上げたときは、位置エネルギーは100Jである。
　高さが2倍になると、エネルギーは2倍になる。
　これは、感覚に合っている。
・しかし、5m落下したときの速度と、10m落下したときの速度を
　比較すると、比例関係になっていない。
　5m落下したときの速度は約10m/s、
　10m落下したときの速度は約14.1m/sである。
　√2倍になっている。
　ちなみに、20m落下したときの速度は約20m/sになる。
　高さ4倍で、速度が2倍の関係になっている。
・結局、運動エネルギーは速度の2乗で計算した方が都合がよい。

・でも、やはり、感覚的につかめない。
・たとえば、静止した状態で1kgの球を1m/sの速度で放出する場合と
　1m/sの速度で移動する自動車から、進行方向に球を1m/sの速度で
　放出する（合わせて球は2m/sの速度で運動する）場合を考えてみ
　よう。どちらも同じエネルギーを与えたと感じられる。
・しかし、計算上は、球に加わったエネルギーは0.5Jと1.5Jという
　違いがある。この違和感はどこから出てくるのだろう。
・実は、運動エネルギーは見る立場によって変わってくる。
　自動車と同じ速度で運動する立場でみると、球に加わったエネル
　ギーは0.5Jである。しかし、地上に静止する立場では1.5Jになる。
・球を放出する場合は、その反作用を考えないといけない。
　球を放出したあとの自動車は、その反作用で減速する。
・分り易くするため、球と自動車の質量を１kgとする。
　（実際はそんな軽い自動車はないが）
・静止した自動車から球を1m/sの速度で放出した場合、
　自動車も反対側に1m/sの速度で運動するので、
　0.5J+0.5Jで、合わせて1Jの運動エネルギーである。
　静止しているときは0Jなので、1J増えたことになる。
・1m/sの速度で移動する自動車から、球を放出した場合、
　放出する前の運動エネルギーは、自動車の0.5Jと球の0.5Jで、
　合わせて1Jである。
　放出後は、球の速度は2m/sで、車の速度は反作用で0m/sになる。
　放出した後の運動エネルギーは、自動車の0Jと球の2Jで、
　合わせて2Jである。
　1J増えたことになる。
・球と自動車を合わせた場合、1Jから2Jにというように比例関係が
　見られる。球だけを見てみると、0.5Jから2Jというように2乗の
　関係になってくる。