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LAST UPDATE 2002-03-29
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| 【22】難易度★★★★ 出題日時：2002年
3月16日(土)9時20分、応募締切2002/4/2 6:00 「ぼくのクラスはたった20人しかいないのに、同じ誕生日の人がいるんだよ」と、ひろりんくんが言います。このクラスで誕生日が同じ月日の人がいる確率は、どのくらいでしょうか？うるう年の場合もそうでない場合もほぼ同じ確率なんですよ。 あ 約1.4％ い 約4.1％ う 約14％ え 約41％ |
正解者････ケムンパスさん →４ptゲット(得点表)
解説と解答
たった20人しかいないんだから、１年365(366)日もある日付が同じになる確率は相当低いだろう、と思いませんか？この問題を解けば、それは感覚的な錯覚なんだと、気づくばずです。
20人のクラスで、２人以上が同じ誕生日(同月日)である確率を計算すればいいんですが、裏返して考えた方が分かりやすいですね。つまり、20人のクラスで、同じ誕生日の人が誰もいない確率を計算し、100％から引けばいいんです。
まず、１年が３６５日で、全員が違う誕生日である場合から考えてみましょう。
１人目の誕生日は３６５通り考えられますが、１人では「誕生日が違う確率」など計算するまでもありませんから、３６５通りに分けて考える必要はありませんね。
２人目の誕生日が１人目と違う確率は、３６５分の３６４ですね。
３人目の誕生日がさらに別の日である確率は、そのまたさらに３６５分の３６３ですね。
４人目の誕生日がさらに別の日である確率は、そのまたさらに３６５分の３６２ですね。
(途中省略)
19人目の誕生日がさらに別の日である確率は、そのまたさらに３６５分の３４７ですね。
20人目の誕生日がさらに別の日である確率は、そのまたさらに３６５分の３４６ですね。
式にすると
364×363×362×361×360×････････×350×349×348××347×346
365の19乗(365を19回かけ合わせたもの)
となります。計算すると、約0.58856、約59％です。つまり、20人全員が違う誕生日である確率は約59％ということですね。
また、１年が３６６日で、全員が違う誕生日である場合、
式にすると
365×364×363×362×361×････････×351×350×349××348×347
366の19乗(366を19回かけ合わせたもの)
となります。計算すると、約0.58943、約59％で、１年365日の場合とほぼ同じです。
どちらの場合も、裏返して言うと、20人のうち同じ誕生日の者がいる可能性は約41％ということになります。正解は「え」です。どうですか？以外と確率は高いですね。逆に言うと、２０人の誕生日が１年３６５(３６６)日で重なる可能性は、相当低いように感じられると思いますが、実は４割程度もあるんですね。
これを、誰かに説明すると、なかなか信じてもらえないことがあります。口頭で説得力ある説明をするのは難しく、下手をするとケンカのきっかけにもなりかねません。そんな時のために、このページをプリントアウトしてくださってもかまいませんが、ケンカの責任はとれませんので、あしからず。
