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「ケレス」ではゼータの香り式に複素数を代入することで、ディリクレのL関数L(χ,s)の特殊値や分割級数が出ることを見た。
しかし研究の結果、タンジェントの部分分数展開式でも同値の式が出ることがわかった。しかもそこでは複素数を使わずとも、
実数でゼータの分割が実現できるのである。
じつはこのことははかなり前に気づいていて、”現代のオイラー”佐藤郁郎氏のサイトへの投稿を多く済ませている。
”ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造”あたりである。
これと重なる内容になるが、以下報告したい。
[ゼータの香りの漂う公式]
1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2) + ・・ ＝(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1)
ケレスでは上式を使ったが、これから次のタンジェント部分分数展開式①を使う。この①を使うと、実数で議論ができわかりや
すい。 なお、上式と①は双対的な関係にある。i を虚数単位として上式でa=xiとすると①が出る。①でx=aiとすると今度は上の 香り式になる。このようにウラ・オモテの関係になっている。
[tan部分分数展開式]
1/(1^2-x^2) + 1/(3^2-x^2) + 1/(5^2-x^2) + 1/(7^2-x^2)・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2) ---①
①のxに1/4、3/4を代入すると、次のＬ(s)ゼータのs=1のL(1)の2分割が実現される。これを見ていく。
L(1)= 1 -1/3 +1/5 -1/7 + 1/9 -1/11 +1/13 -1/15 + ・・・=π/4
Ｌ(s)を一般的に書くと、次の通り。
L(s) = 1/1＾s -1/3＾s +1/5＾s -1/7＾s + 1/9＾s -1/11＾s +1/13＾s -1/15＾s + ・・・
（虚２次体Q(√(-1)ゼータ、導手N=4, a≡0, 1, 2, 3 mod 4に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, 0, -1）
２分割されたゼータ分身たちの導出過程を次に示す。
［導出過程］
1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +1/(7^2-x^2)・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2) ---①
xに1/4を代入する。
左辺
= 1/(1^2-(1/4)＾2) + 1/(3^2-(1/4)＾2) + 1/(5^2-(1/4)＾2) + 1/(7^2-(1/4)＾2) + 1/(9^2-(1/4)＾2) +・・・
= 2[｛1/(1-1/4) - 1/(1+1/4)｝ + ｛1/(3-1/4) - 1/(3+1/4)｝
+ ｛1/(5-1/4) - 1/(5+1/4)｝ + ｛1/(7-1/4) - 1/(7+1/4)｝ + ｛1/(9-1/4) - 1/(9+1/4)｝ +・・]
= 2｛ 4/3 - 4/5 + 4/11 - 4/13 + 4/19 - 4/21 + 4/27 - 4/29 + 4/35 - 4/37 +・・・｝
= 8｛ 1/3 - 1/5 + 1/11 - 1/13 + 1/19 - 1/21 + 1/27 - 1/29 + 1/35 - 1/37 +・・・｝
右辺 = πtan(π/8)
左辺＝右辺から次となる。
1/3 -1/5 +1/11 -1/13 +1/19 -1/21 +1/27 -1/29 +1/35 -1/37 +・・・＝ (π/8)tan(π/8) ・・・②-1
また同様にして、3/4代入で次が出る。（計算は略）
1 -1/7 +1/9 -1/15 +1/17 -1/23 +1/25 -1/31 +1/33 -1/39 + ・・＝ (π/8)tan(3π/8) ・・・②-2
②-2から②-1を引くと、容易に次のL(1)になることがわかる。
L(1)= 1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 - 1/11 +1/13 -1/15 + 1/17 -1/19 +1/21 -1/23 + ・・・=π/4
tan(π/8)=√2 - 1、tan(3π/8)=√2 + 1であるから、②-1、②-2は次のようにも表現できる。
1/3 -1/5 +1/11 -1/13 +1/19 -1/21 +1/27 -1/29 +1/35 -1/37 + ・・＝(√2 - 1)π/8
1 -1/7 +1/9 -1/15 +1/17 -1/23 +1/25 -1/31 +1/33 -1/39 + ・・＝(√2 + 1)π/8
ただし後々の議論を踏まえ、青字の式の方がより本質を表しているので、今後はこのtan()を残した表記を多用していく。
念のため、Excelマクロで数値検証も行った。②-1は次のように左辺は右辺の値に収束する。OKである。
右辺＝0.1626613・・
左辺＝1万項まで ＝0.1626550・・
左辺＝10００万項まで＝0.1626613・・
②-2も左辺は右辺の値に収束する。OK。
右辺＝0.9480594・・
左辺＝1万項まで ＝0.9480407・・
左辺＝10００万項まで＝0.9480594・・
［終わり］
部分分数展開式からゼータが分裂したもの（ゼータの分身たち）が求まったのである。これは深い結果のように思える。
このような難しいことが非常に簡単な計算から得られるとは驚きである。なお、この分割は本質的な分割（真の分割）になって
いる。
tan部分分数展開式は、ゼータの深いところとつながっているようである。
まとめておく。
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