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| 【４】難易度★★★★ 出題日時：11月
5日(月)11時38分03秒、応募締切2001/11/12
6:00 「一日一歩、三日で三歩、三歩進んで二歩下がる」という唄がありましたが、一周５０歩の周回コースで、実際に実験してみました。Ａさんは「三日目に一歩進んだ時、同時に二歩下がるべきだ」といい、Ｂくんは「四日目に二歩下がるべきだ」、Ｃさんは「四日目と五日目に一歩ずつ下がるべきだ」というので、それぞれのやり方でスタートしてもらいました。ある日、三人はケンカをしてしまい、そのうちの一人が翌日から逆方向に歩き出しました。すると３６５日目を終えた時点で、３人は同じところに立っていました。さて、逆方向に歩き出したのは誰で、ケンカをしたのは何日目でしょう。考えられる日をすべてご指摘ください。 ※逆方向に歩き出したのが、誰かを正解されただけでも、２ポイント(★★)差し上げます。 【注釈】逆方向に進み始める時、歩の進め方は、通算日数に応じる場合と、新たに第一歩目から数える場合に分けて考えてください。 |
この問題は、駅伝大会のの監察係をしながら原案を思いついた、kurochanのオリジナル問題です。正解を確認してから出題したつもりでしたが、kurochan自身に計算間違いがあり、注釈が必要となってしまいました。また、とても煩雑な問題で、申し訳ありませんでした。
一周５０歩の周回コースですから、５０個の地点に【１】～【５０】と名付けることにします。すると、
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地点
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【１】 | 【２】 | 【３】 | 【４】 | 【５】 | 【６】 |
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Ａ
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１日目 | ２ | (３) | |||
| ３ | ４ | ５ | (６) | |||
| ６ | ７ | ８ | (９) | |||
| ９ | １０ | １１ | (１２) | |||
|
Ｂ
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１日目 | ２ | ３ | |||
| ４ | ５ | ６ | ７ | |||
| ８ | ９ | １０ | １１ | |||
| １２ | １３ | １４ | １５ | |||
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Ｃ
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１日目 | ２ | ３ | |||
| ５ | ４ | |||||
| ６ | ７ | ８ | ||||
| １０ | ９ | |||||
| １１ | １２ | １３ | ||||
| １５ | １４ | |||||
| １６ | １７ |
１８ |
この表の赤い部分に注意してよく見ると、Ａは３日おき、Ｂは４日おき、Ｃは５日おきに、１歩分進むことが分かります。３６５日目までケンカせずに、つまり逆方向に折り返さずに進むとすれば、それぞれ３６５日で進む歩数は
Ａさん････３６５÷３＝１２１ 余り ２ よって１２１＋２＝１２３歩
Ｂくん････３６５÷４＝９１ 余り １ よって ９１＋１＝ ９２歩
Ｃさん････３６５÷５＝７３ 余り ０ よって ７３＋０＝ ７３歩
一周５０歩の周回コースですから、Ａさんは２周と２３歩目、Ｂくんは１周と４２歩目、Ｃさんは１周と２３歩目になります。ＡさんとＣさんが同じ地点に立っていますから、ケンカして逆方向に歩き出したのはＢくんだということが分かります。【ここまで正解で２ポイント】
では、３人がケンカをしたのは何日目かを考えましょう。翌日からＢくんが逆方向に歩き出したわけです。ただし、逆方向へ歩き出すときのＢくんの歩の進め方について、２つのパターンに分けて考えることにします。
【第１のパターン】通算日数に応じて歩を進めるパターン
次の表をよくご覧ください。
| 地点 | 【１】 | 【２】 | 【３】 | 【４】 | 【５】 | 【４７】 | 【４８】 | 【４９】 | 【５０】 | |||
| １日目にケンカ | １ | ３ | ２ | |||||||||
| ４ | ７ | ６ | ５ | |||||||||
| １１ | １０ | ９ | ８ | |||||||||
| １４ | １３ | １２ | ||||||||||
| ２日目にケンカ | １ | ２ | ||||||||||
| ３ | ||||||||||||
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６ |
５ | ４ | ７ | |||||||||
| ９ | ８ | １１ | １０ | |||||||||
| １２ | １５ | １４ | １３ | |||||||||
| ３日目にケンカ | １ | ２ | ３ | |||||||||
| ７ | ６ | ５ | ４ | |||||||||
| １１ | １０ | ９ | ８ | |||||||||
| １４ | １３ | １２ | ||||||||||
| ４日目にケンカ | １ | ２ | ３ | |||||||||
| ４ | ７ | ６ | ５ | |||||||||
| １１ | １０ | ９ | ８ | |||||||||
| １４ | １３ | １２ | ||||||||||
|
５日目にケンカ |
４ | ５ | ||||||||||
| ６ | ７ | |||||||||||
| ９ | ８ | １１ | １０ | |||||||||
| １２ | １５ | １４ | １３ |
４日目に２歩さがるという歩き方をするため、１日目にケンカしても４日目にケンカしても同じ地点に立っていることになりますね。また、４日サイクルで１歩分進むのですから、ケンカをするのが４日遅くなると、その４日で進んだ１歩と、その１歩分を逆方向に戻るために必要な１歩分の合わせて２歩分、逆方向への進度が遅れることになります。
では、χ日目にケンカをした時、Ｂさんが３６５日で進むのは何歩でしょうか。
ケンカをした日が含まれる４日サイクルと、その前後のサイクルに分けて計算しましょう。まず、
ケンカした日を含む４日サイクルで進む歩数････Ａ
その直前までの４日サイクル数････Ｂ
とします。そして３６５日は、９１回の４日サイクルと１日ですから
ケンカしたのが３６４日目までの場合は、直後からの４日サイクル数＝９０－Ｂ となり
３６５日で進む歩数＝Ｂ＋Ａ－（９０－Ｂ）－１＝２Ｂ＋Ａ－９１････①
ケンカしたのが３６５日目の場合は、Ａ＝１、Ｂ＝９１ですから
３６５日で進む歩数＝Ｂ＋Ａ＝９２････②
となりますね。ここで少し注意すると、２Ｂは常に偶数、Ａは上の表で明らかなように、１、３、５のいずれかになるので常に奇数ですから、①は常に偶数になり、②も偶数です。１周５０歩の５０も偶数ですから、Ｂくんが何日目にケンカをしても、３６５日目に立っている地点は偶数番目の地点になります。Ａさん、Ｃさんがたどり着く２３歩目地点には、絶対にたどり着かないということになります。
【第２のパターン】逆方向に進み始める時、第１歩目から数えるパターン
ケンカした日までに進んだ歩数＋翌日から逆方向に歩いた歩数
を計算すればいいわけですが、【第１のパターン】で考えたのと同じく、
ケンカした日を含む４日サイクルで進む歩数････Ａ
その直前までの４日サイクル数････Ｂ
とします。ただし、翌日から逆方向に歩いた歩数は、次のように分けて考える必要があります。
３６５日は９１個の４日サイクルと１日である
４日サイクル１日目には１歩進んだ地点へ
２日目には２歩進んだ地点へ
３日目には３歩進んだ地点へ
４日目には１歩進んだ地点へ、と歩を進めている
ことになるので、
ケンカしたのが４日サイクルの
１日目の場合、逆方向へ進んだ歩数は(９１－Ｂ)歩････③
２日目の場合、逆方向へ進んだ歩数は(９０－Ｂ)＋３歩････④
３日目の場合、逆方向へ進んだ歩数は(９０－Ｂ)＋２歩････⑤
４日目の場合、逆方向へ進んだ歩数は(９０－Ｂ)＋１歩････⑥
となり、式を立てると、Ｂくんが３６５日目にたどり着く地点は
③････Ｂ＋１－（９１－Ｂ）＝２Ｂ－９０････常に偶数
④････Ｂ＋２－(９０－Ｂ)－３＝２Ｂ－９１
⑤････Ｂ＋３－(９０－Ｂ)－２＝２Ｂ－８９
⑥････Ｂ＋１－(９０－Ｂ)－１＝２Ｂ－９０････常に偶数
となります。③⑥は常に偶数となるので除外して、④⑤で２３歩目の地点に一致するのは
④････２Ｂ－９１＝２３ → ２Ｂ＝１１４ 従って ４Ｂ＋２＝２３０日目
⑤････２Ｂ－８９＝２３ → ２Ｂ＝１１２ 従って ４Ｂ＋３＝２２７日目
１周５０歩の周回コースですから、同じ２３歩目の地点にたどり着くには、５０歩きざみで増減してもいいわけですから、３６５日の範囲に含まれるのは
④････２Ｂ＝１４、６４、１１４、１６４ つまり ３０日目、１３０日目、２３０日目、３３０日目
⑤････２Ｂ＝１２、６２、１１２、１６２ つまり ２７日目、１２７日目、２２７日目、３２７日目
が考えられます。これが、ケンカしたと考えられるすべての日です。(2001/11/10・11筆)