その１【3点が与えられたときの三角形の面積】

A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) とすると、ベクトルの方法で、三角形の面積は次のようになる。

S={x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)}/2

双曲線上の3点を、

A(a/cosα,btanα),B(a/cosβ,btanβ),C(a/cosγ,btanγ) と置いて、楕円と同じ計算をしていきます。すると、

S=(ab/2)│{sin(α-β)/2 sin(β-γ)/2 sin(γ-α)/2} /(cosα cosβ cosγ)│

という式が得られた。

その１で求めた公式に、楕円上の点をA(acosα,bsinα）,B(acosβ,bsinβ),Ｃ(acosγ,bsinγ)として代入して整理すれば楕円上の3点を結んでできる三角形の面積が求まる。加法定理や和積公式などを駆使して、

S=2ab│sin(α-β)/2 ・sin(β-γ)/2 ・sin(γ-α)/2│というきれいな式を得た。

その３において、双曲線上の3点を、双曲線関数を用いて(acoshα,bsinhα）,B(acoshβ,bsinhβ),  Ｃ(acoshγ,bsinhγ)と表せば、双曲線関数においても三角関数と同様の加法定理が成り立つことから、

S=2ab│sinh(α-β)/2 ・sinh(β-γ)/2 ・sinh(γ-α)/2│

という、その２において、三角関数を双曲線関数に置き換えたものが得られる。

　以下に、そのレポートから一部を紹介させていただきます。

『集合とはものの集まりである』。「もの」とは何だろうか。これは集合論のゲオルク・カントールの言っているように「直感または思惟の対象となるものです。ということは、｛鉛筆、消しゴム、ノート｝の文房具セットのように直接見たりさわったりするものも集合になるし、｛ゴジラ、ガメラ、モスラ・・・｝の怪獣のように頭の中で考えるようなものも集合となるのです。

註　うーん。カントールときたか。格調高いぞ。そのわりに実例が｛ゴジラ、ガメラ、モスラ・・・｝はかわいいぞ。

【集合の表記】

自然数全体の集合は、{1,2,3,4,・・・｝と表されます。さらりと書きましたが、「無限にどこまでも続くものを中括弧｛，｝でくくることができるだろうか？」という疑問が残ります。なんとなく西遊記の孫悟空とお釈迦様のお話を思い出しませんか。孫悟空がきんと雲で息の続く限り飛び世界の果てに到着したと思われたのに、実はお釈迦様の手の中から出ることができなかったという話です。集合の中括弧は、お釈迦様のような存在で、どんなに自然数が動き回っても掌握してしまうのです。

註　なるほど。｛｝はお釈迦様の手だったのか・・・なんかうまく騙されているような気もするなあ。

所属記号∈∋について説明します。この独特な記号の由来は諸説あります。単純なのはelementの頭文字ｅに対するギリシャ文字εから∈に変化したという説です。すこし複雑なのが、「〜である」（英語のｉｓ）に相当するギリシャ語εσ’ιの頭文字εを取ったという説です。「属する」という意味でなく「である」にしたセンスは面白い。例えば、Mを平方数の集合とすると、

　　９は平方数である⇔９∈M

とパラレルな関係になるのです。所属記号∈を使い始めたのは、記号論理をやっていたペアノであるといわれています。

註　そうだったんですか。わたしゃあ∈は熊手の形なので、集合のボスが熊手で要素をかき集めているんじゃないかと思っていましたよ（冗談）

【全体集合と補集合】

全体集合と補集合は相補的な関係です。補集合を考えるには、全体集合を考えざるを得ないし、全体集合を考えるには、ある部分集合の補集合を考えればいいのです。例えば、バスケ部員でないものの集合を考えるには、どうしても全体集合を設定せざるを得ません。そうでないと、テニス部員や美術部員などの他に、帰宅部員、教職員、お父さんお母さん、兄弟姉妹、祖父祖母、近所の人々、飼っている犬、ネコ、豚、牛、畑のカラス、トンビ、カメ虫、ミミズ、バクテリアそして机、椅子、ノート、シャーペン、自転車、トラクター、家のテレビ、ラジカセ、マンガ、松島奈々子のポスター・・・考えればきりがありません。

全体集合を1年Ａ組36名の生徒にすると、バスケ部員の補集合は簡単にわかりますよ。

註　全体集合と補集合を相補的に考えるのはいいですよね。しかし、なぜ、最後に松島奈々子が出てきたのかナゾだ。伊藤先生は密かに松島奈々子ファンらしい。