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～ＬＯＧＯと「ラッセルのパラドクス」～

１　ＬＯＧＯのプログラム

ＬＯＧＯとは、パソコンの１つのプログラミング言語で、画面上の亀をいくつかの命令によって動かし、その軌跡でお絵かきすることを目的としている。例えば、亀を１００ドット前進させるには、次のようなプログラムを作る。

TO HYAPPO ……プログラム名を最初につける。TOで始める。ここでは「HYAPPO」にした。

FD　100　　　　………FDはフォワード。１００ドット前に進めということ。

END　　　　………プログラムの終了。LOGOではTO プログラム名～ENDで１つのプログラム。

このプログラムを登録すれば以下画面上で、HYAPPOと入力する度亀は１００ドット前進する。

LOGOの特徴の１つに、プログラムの中にプログラムを入れられるということがある。例えば、正三角形を描くプログラム、

TO SANKAKU　　　　……プログラム名

FD 100

RT 120　………右に９０度ターンしろという命令

FD 100

RT 120

FD 100

END

と、正方形を描くプログラム、

TO SIKAKU

FD 100 RT 90

END

という２つのプログラムがあったとする。

このとき、新しいプログラム、TO　ZUKEIというのを考えて、

TO ZUKEI

SANKAKU　　　……SANKAKUを実行する（三角形を描く）

SIKAKU　　　………SIKAKUを実行する（正方形を描く）

END

というようにすることができるのである。つまり、ZUKEIという集合の中に、SANKAKUとSIKAKUという集合が含まれているというカンジで見て欲しい。

２　リカージョン

なんとＬＯＧＯではプログラムの中に自分自身のプログラムを読むことも可能だ。例えば次のようなプログラムを作ることができる。

TO WALK ………プログラム名

FD RANDOM 50　……RANDOM　50は５０以下の乱数の発生。５０ドット以内亀は前進。

RT RANDOM 180　……１８０以下の乱数で右に曲がる。

WALK　　………ここで、自分自身を呼び出す。図を参照すると分かり易い。

END

このプログラムを実行すると、亀はランダムウォークを始める。強制終了しない限り永遠に歩き続ける。このような手法をリカージョンという。

３　ラッセルのパラドクス

ここで話したいことはＬＯＧＯのプログラミングのことではない。ラッセルのパラドクスのことだった。では本題に入ろう。

上の２で述べたように、LOGOでは、自分自身を含むプログラムを作ることができた。ということは、LOGOで作られたプログラムは、必ず「自分自身を含むプログラム」か「自分自身を含まないプログラム」のかのどちらかである。さて、今、自作のプログラムから「自分自身を含まないプログラム」を選び、それら全体からなるプログラムを作ることにしよう（LOGOではプログラムの中にプログラムを入れることができた！）。名前はTO FUKUMANAI。「自分自身を含まないプログラム」をＰ_１，Ｐ_２，Ｐ_３，…とする。

TO FUKUMANAI

：

END

さて、そこで問題。今作った、TO FUKUMANAI は「自分自身を含むプログラム」と「自分自身を含まないプログラム」のどちらに分類すべきか。もし「自分自身を含む」に分類したとすれば、TO FUKUMANAIの中に、FUKUMANAIが含まれる。ということは、TO FUKUMANAIが自分自身を含まないプログラムの集まりであることに矛盾する。じゃあ、「含まない」に分類したとしよう。そうすると、これはTO FUKUMANAIの中に入るべきプログラムだから、TO FUKUMANAIの中に、FUKUMANAIも入れなければならない。とすると、TO FUKUMANAIは自分自身を含むプログラムになってしまう。これがラッセルのパラドクスである。