# a:=0
# b:=0
# k:=0
# s:=0
# Draw
# ClrAImg
# ---
# // 計算
# for s:= Qx to Qy
# k:= 4 * s - 3
# a:= Px
# b:=Py +1/k
# Draw
# a:= Px + 1/(k + 1)
# b:=Py
# Draw
# a:= Px
# b:=Py - 1/(k + 2)
# Draw
# a:= Px - 1/(k+3)
# b:=Py
# Draw
# next s
│Grapesの世界へ│面白数学らんど│音楽＆数学らんど│リンク│エクセルで面白数学│ホーム│
あなたもＧｒａｐｅｓの世界へ④
無限調和交代級数
1-1/3+1/5-1/7+・・・ という無限級数は、π/4に収束することが知られているし、また、
1/2-1/4+1/6-1/8+・・・という無限級数は、(1/2)log2 に収束することが知られています。
どちらも、左辺＝「有理数の加減」なのに、右辺は超越数になるのが、なんとも不思議で
すね。これが無限の面白いところでしょう。
さて、この証明は高校の微積分でわりと簡単に求めることができますが、
ここでは、この２つの級数の収束の様子を、Ｇｒａｐｅｓを使って眺めてみましょう。
|
Ｇｒａｐｅｓのスクリプト機能を使って、簡単なプログラミングをします（左下図）。ｐとｑに値を入れて「計算」マクロを実行すると、左図のような渦巻きを描いてくれます。この渦は、極限点、Ｐ（(1/2)log2, π/4）に向かって進んでいることがわかります。 最後の方は見えにくいので、「指定領域の拡大」機能を使って、中心部分を拡大します。そして、更に、ｐ、ｑの値を大きくして、移動回数を多くしていきます。何度もしつこく拡大してみましょう。自己相似的に、どんどんＰに向かっていく様子がわかります（下図）。 | |
| # // 初期化 # a:=0 # b:=0 # k:=0 # s:=0 # Draw # ClrAImg # --- # // 計算 # for s:= Qx to Qy # k:= 4 * s - 3 # a:= Px # b:=Py +1/k # Draw # a:= Px + 1/(k + 1) # b:=Py # Draw # a:= Px # b:=Py - 1/(k + 2) # Draw # a:= Px - 1/(k+3) # b:=Py # Draw # next s |
|
|
| このファイルのダウンロードはここをクリックしてください | ||
上のような点（複素数）の移動によって、極限点が得られる理由を、複素関数を使ってごく簡単に説明します。
