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あなたもＧｒａｐｅｓの世界へ�C

無限調和交代級数

　1-1/3+1/5-1/7+・・・　という無限級数は、π/4に収束することが知られているし、また、

1/2-1/4+1/6-1/8+・・・という無限級数は、(1/2)log2 に収束することが知られています。

どちらも、左辺＝「有理数の加減」なのに、右辺は超越数になるのが、なんとも不思議で

すね。これが無限の面白いところでしょう。

　さて、この証明は高校の微積分でわりと簡単に求めることができますが、

ここでは、この２つの級数の収束の様子を、Ｇｒａｐｅｓを使って眺めてみましょう。

	Ｇｒａｐｅｓのスクリプト機能を使って、簡単なプログラミングをします（左下図）。ｐとｑに値を入れて「計算」マクロを実行すると、左図のような渦巻きを描いてくれます。この渦は、極限点、Ｐ（(1/2)log2, π/4）に向かって進んでいることがわかります。 最後の方は見えにくいので、「指定領域の拡大」機能を使って、中心部分を拡大します。そして、更に、ｐ、ｑの値を大きくして、移動回数を多くしていきます。何度もしつこく拡大してみましょう。自己相似的に、どんどんＰに向かっていく様子がわかります（下図）。

　上のような点（複素数）の移動によって、極限点が得られる理由を、複素関数を使ってごく簡単に説明します。