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アステロイドと三倍角の公式　　　　ＧＩＦアニメを見る

下図のような半径４の円に、半径１の円が滑らずに内接しながら転がるとき、小円の固定点P

の軌跡はどうなるか、という問題を授業で扱ったときの話です。これはアステロイドという曲線になるのですが、

実際にグラフィクスで動くところを見せないと意味がありません。そこでGrapesを利用して、描画する方法を考えました。

まず、∠ＡＯＲ＝θとして、Ｐの座標を、θで表せばいいですね。今、弧ＡＲと弧PRが等しく、AR＝θなので、

PR＝4θとなります。すると、∠PBQ＝3θです。すると、Ｂ（3cosθ,3sinθ), ベクトルBP=(cos3θ,-sin3θ)なので、

OP＝OB＋BP　というベクトル和で考えて、P(3cosθ+cos3θ,3sinθ-sin3θ)と表せます。

ところで、アステロイドは、x^(2/3)+y^(2/3)=4 つまり、ｘ＝4cos³θ, y=4sin³θとパラメータ表示されることが知られています。

ということは・・・なあんだそうか。4cos³θ＝3cosθ+cos3θ　つまり、cos3θ＝4cos³θ-3cosθ

4sin³θ＝3sinθ-sin3θつまり、sin3θ＝3sinθ-4sin³θ　

アステロイドのパラメータ表示は、三角関数の3倍角の公式の図形的な意味なんだ。