第４章 雨滴の落下速度
水滴には、鉛直下向きに重力、上向きに空気の粘性による抵抗力がはたらく。
水滴が小さいとき、抵抗力の大きさは水滴の速度に比例する。
鉛直下向きにｘ軸をとり、落下している間の質量変化を無視するとNewtonの運動方程式は、
ｖ＝ｄｘ／ｄｔを用いて式を整理すると、
これを初期条件ｔ＝０でｖ＝０のもとで解くと、
充分時間が経つと、重力と抵抗力がつり合って、
となる。これを水滴の終端速度と呼ぶ。
空気の分子粘性係数をμ、水滴の半径をｒとするとStokesの抵抗法則より、
ｋ＝６πμｒ
また、 ρ＝10３ ｋｇ/ｍ−３，ｇ＝9.8 ｍ/ｓ２，μ＝1.8×10−５ Ｎ･sec/ｍ２（15 ℃）より、
よって、終端速度は水滴の半径の２乗に比例する。
この議論が適用できる範囲は、Re＜１、すなわちｒ＜0.1ｍｍの範囲である。
図１：速度に比例する抵抗力がはたらく場合の終端速度
次に、水滴が大きいときを考える。このとき、抵抗力の大きさは水滴の速度の２乗に比例するから、 Newtonの運動方程式は、
ｖ＝ｄｘ／ｄｔを用いて式を整理すると、
これを初期条件ｔ＝０でｖ＝０のもとで解くと、
終端速度は、
空気の分子粘性係数をμ、動粘性係数をν、水滴の半径をｒとすると、
ｋ＝0.235μπｒ２／ν
ν＝0.15×10−４ ｍ２/sec（15℃）より、
よって、終端速度は水滴の半径の平方根に比例する。
この議論が適用できる範囲は、5×10２＜Re＜2×10５、すなわち0.7ｍｍ＜ｒ＜30ｍｍの範囲である。
図２：速度の２乗に比例する抵抗力がはたらく場合の終端速度
以上の考察より、いくつかの値を計算してみると、次のような結果が得られた。
半径（ｍｍ） 落下速度（ｃｍ/sec） 雲粒 0.001 0.012 霧雨粒 0.01 1.2 霧と雨の境 0.1 120 雨粒 0.8 608 〃 1.0 680 〃 2.0 962
