ここで、Ｑ_ｏｎ＝放流量、Ｑ_ｏｎ−１＝１ステップ前の放流量、Ｖ_ｎ＝貯水量、
　　Ｖ_ｎ−１＝１ステップ前の貯水量、ΔＴ＝計算時間間隔（ここでは１０ｍｉｎ＝６００ｓｅｃとする。）
　
　右辺が実務的な流入量の計算式であることは周知の通りです。
　ここで、（５−１）式においてａ＝２／６００ｍ^３／ｓｅｃ^２、ｂ＝１００ｍ^３／ｓｅｃとして、流入量を特定し、これに対して、初期条件をｔ＝０で　Ｑｏ＝７０ｍ^３／ｓｅｃ、Ｖ＝０ｍ^３として、（５−２）式に基づく放流量と貯水量の計算結果は横軸を時間軸としてその時間変化を示すと、図―５−1−（１）のＱｏ０、Ｖ０の通りとなります。

　図―５−１−（１）によれば、本来（５−２）式は定水位制御を行なっているという認識であるにもかかわらず、時間経過とともに貯水量Ｖ０は変化しており、実態は定水位制御になっていないことが判ります。また、放流量も流入量とは完全には一致していません。

この点について、（５−２）式を放流関数とした場合の放流量と貯水量の時間変化を解析的に分析してみることとします。
　（５−２）式においてΔＴは一定値（６００ｓｅｃ）ですから、（５−３）式のように示すことが出来ます。
　

（５−３）式の両辺を積分すると（５−４）式が得られます。

ただし、　、ｄ＝積分定数

　（５−４）式を見る限り放流量は貯水量の１次関数によって増減していることがわかります。
　（５−１）式と５−４式と連続の式を連立させて微分方程式を解くと（５−５）が得られます。
　　

（５−５）式は時間方向に直線的に変化する流入量に平行な値（ａｔ＋ｂ−ａ／ｃ）に漸近する関数であることを示しています。
　さらに（５−５）式を（５−４）式に代入してＶを求めると（５−６）式が得られます。


（５−６）式はＶが時間とともに増加する関数であることを示しています。
詳細な式の展開は省略していますが、以上で操作規則に従って定水位操作をしても水位を一定に保つことができないことを解析的に説明しました。

　５−２　改良型定水位制御システムについて

以上、現況定水位制御システムでは完全なる定水位制御の実現に向けては解決すべき課題があるということが明らかになりました。

ここでは、貯水池水位の目標水位との偏差に基づき放流量Ｑ_ｏを修正していく次のような放流量の決定方法について検討してみることとします。

　５−２−１　水位補正型定水位制御システムについて

ここでは（５−２）式に対して、貯水位の偏差を補正する項を（右辺の第３項）付加した（５−７）式により考察を展開することとします。

この方法は一部の堰などで採用されており、ここでは水位補正型定水位制御システムと呼ぶことにします。

ここで、ｖ_０は管理目標容量、Ｋ_１は定数。

この式において、初期条件は図―５−１の場合と同じとして、ｔ＝０でＱｏ＝７０ｍ^３／ｓｅｃ、Ｖ＝０ｍ^３、また、Ｋ_１＝１／６００、△Ｔ＝６００ｓｅｃ、ｖ_０＝０ｍ^３とする。その計算結果を図−５−１−（１）重ね合わせたかたちでＱｏ1、Ｖ１として示します。
　（５−７）式による計算結果では貯水量は完全に管理目標容量（ｖ_０）となっていないものの、殆ど定水位制御に近い操作を実現していることを示しています。
　これらの容量が完全に０とならない理由については、さらに解析的な考察を実施した後に明らかにしていくこととします。

　以上より、（５−７）式は定水位制御の要件をほぼ満足しているように見えます。ここで、貯水池水位に波動変動を加えて（５−２）式と（５−７）式のそれぞれのケースの波動変動に対する放流量と貯水量の応答状況を計算してみました。

加えた波動変動は、貯水池の面積を1ｋｍ^２として、波動変動の偏差（振幅）を０．５ｃｍ、周期を１１００ｓｅｃとしています。

この結果を図−５−１−（２）にＱｏ０１、Ｖ０１、Ｑｏ１１、Ｖ１１として示しました。図−５−１−（２）よれば、（５−２）式と比較して、（５−７）式による場合、波動変動により決定される放流量が著しく不安定であることが確認されました。このことが（５−７）式による方法がこれまで実用化されていない要因の一つであるのではないかと想定されます。

　５−３　改良型定水位制御システムの解析的考察

いま、（５−７）式をさらに一般化する形で次のような定水位制御システムを定義することとしました。
　このシステムを改良型定水位制御システムと呼ぶことにします。　

ここでＫ_１、Ｋ_２は定数であります。（５−７）式は（５−８）式においてＫ_２＝１／ΔＴと言う限定された状況下にあるものと言うことが出来ます。（５−８）式は次のように書き換えることができます。
　

さらに、　として、これらの差分式を微分方程式の形で示すと（５−９）

式は次のように書き換えることが出来ます。

（５−１０）式の両辺をｔで微分し、（５−１）式と連続式とを連立させＶを消去すると次のように示すことができます。

これを整理すると（５−１１）式の通りとなります。

これは、減衰振動の方程式と同じ形態である２階の常微分方程式であり、解析可能であります。ここで、解析の詳細は省略しますが、解は次の通りとなります。

　　　

　　　　　　＋ａｔ＋ｂ．．．．．．(５−１２)

（５−１２）式は流入量に対して減衰振動的に漸近していく関数であることを示しています。このことは（５−８）式においてＫ_１、Ｋ_２を適正に選択すれば定水位制御関数の特性を選択できることを示しています。

（５−８）式において、当初、Ｋ_１＝Ｋ_２＝１／６００とした場合の放流量と水位の応答結果は図―５−１−（１）、図―５−１−（２）に示したとおり、水位そのものはほぼ一定値に維持できるものの、貯水池水位の波動変動に対しては著しく安定度が損なわれることが判りました。　そこで、Ｋ_１、Ｋ_２を変化させて応答結果を評価してみることとします。ここでは、係数Ｋ_１＝１／２０００、Ｋ_２＝１／２０００とした場合について収束状況を評価してみました。

その結果を図−５−２−（１）にＱ_ｏ３、Ｖ3として、現況システムによる結果Ｑ_ｏ０、Ｖ０との比較において示しています。

次に、波動変動を加えてそれぞれのケースの波動変動に対する放流量の安定性を比較してみました。
　加えた波動変動は、５−２・で適用したものと同じ波動の関数を用いました。

その結果を図−５−２−（２）にＱ_ｏ３１、Ｖ３１として、現況システムによる結果Ｑ_ｏ０１、Ｖ０1と比較しながら示しています。
　なお、この場合の初期条件はいずれもV＝０、Q＝７０ｍ^３／ｓｅｃとしています。

図−５−２−（１）から次のようなことが言えます。現況システムによるＱ_ｏ1は速やかに流入量に収束していますが、改良型システムによるＱ_ｏ３は目標値に対して時間をかけながら減衰振動により収束しています。この結果は明らかにケース１の方が収束状況は早く、優れているように見えます。
　しかしながら、図−５−２−（２）を見ると次のようなことがいえます。
　現況システムによるＱ_ｏ０１は波動変動に対して敏感に反応していますが、改良型システムによるＱ_ｏ３１は相対的に安定しています。また、容量のコントロール状況はＶ０1に対してＶ３1の方が優れていることが判ります。

　５−４．　観測流入波形に対する応答特性の検討

次に、観測流入量に対して、現況定水位制御システムと改良型定水位システムの比較を行うこととします。
　図−５−３−（１）には不規則に変化する観測値Ｑ_ｉ3を流入量とした場合の放流量と容量をＱ_ｏ７、Ｖ７、として示しています。現況システムと比較するためにＱ_ｏ６、Ｖ６も併記しています。
　また、図−５−３−（２）には図−５−２−（２）と同じ波動を適用してＱ_ｏ７１、Ｖ７１として示しています。この場合も現況システムと比較するためにＱ_ｏ６１、Ｖ６１も併記しています。
　この結果、改良型システムは流量変化に対する追随が若干遅れ気味であるが、貯水量のコントロールと波動に対する放流量の安定性の面では優れていることがわかります。

以上、現況定水位制御システムと改良型定水位制御システムについて複数の角度から考察しました。これまでの考察の結果、計算時間間隔を６００ｓｅｃとした場合、Ｋ_１＝Ｋ₂＝１／２０００程度が好ましいと考えられますが、これについては貯水池への流入量の変化、貯水池の波動特性、計算時間間隔など個々のダムの操作上の要素を総合的に勘案して適切な値を採用する必要があると考えています。

　５−５　他の制御システムから定水位制御システムへの移行について

　（５−８）式による定水位制御システムは一旦安定してしまえば継続的な操作が可能ですが、任意の放流量と水位の状態から目標とする水位と放流量（＝流入量）に漸近するためには相応のプロセスが必要となります。
　たとえば、一定量放流を行いながら放流量が流入量と等しくなった段階でそのときの容量を維持するといったケースでは容易に定水位制御に移行することが可能であります。
　しかしながら流入量と目標とする貯水量に関係なく現在の放流量と貯水量がある状態から目標とする貯水量に対して水位をコントロールしながら放流量を流入量に近づけていくことは一定のプロセスを必要とすることになります。

たとえば、図−５−４は目標貯水量２００００００ｍ^３として現在貯水量１００００００ｍ^３、現在放流量０ｍ^３／ｓから設定された流入量に漸近していくプロセスをシミュレートしたものです。
　このときのＫ１，Ｋ２＝２０００としています。（また、放流量の計算において放流量が負の値になった場合は０としてその結果をＱｏ１，Ｖ１として示している。これに波動を加えたものをＱｏ１１、Ｖ１１として示しているが、波動の影響はほとんど認められない。）この結果はＱｏ１，Ｖ１とも大きく振動しながら３００分余の時間を要しながら安定状態に達しています。
　このことから、定水位制御に移行するためにはある程度の安定状態を準備しない限り現地適用は不可能であるということが出来ます。
　スムーズな移行条件は、まず、漸近関数により定水位関数と同じ状態を作ることにより定水位関数に放流量を引き継ぐ必要があります。
　引き継ぎのための関数を（５−１３）式で示しています。
　　
　　

　 ここで、ｖ_ｍは漸近関数の初期貯水量、Ｑ_ｏｍは初期放流量、ｖ_ｕは目標貯水量とします。
　
　（５−１３）式により放流量とそのときの貯水量を計算した結果を図−５−４のＱｏ０、Ｖ０で示しています。この値に波動変動を加えた結果をＱ_ｏ０１、Ｖ０１で示しています。このケースではかなり波動変動の影響を受けています。しかしながら定水位操作の安定状態になるまでの間辛抱する必要があります。
　ｔ＝３００ｍｉｎで定水位関数に移行した結果をＱ_ｏ０１９で示しています。この結果スムーズに定水位関数に移行していることがわかります。