簡易数学公式集(その2)
積分区間0〜π/2の定積分
∫π/2_0 dφ sin^2φ/√(1-k^2 sin^2φ)= -(1/k^2) Z2(k)
∫π/2_0 dφ/(1-k^2 sin^2φ)^(3/2)=(1/(1-k^2)) Z2(k)
∫π/2_0 dφ sin^2φ/(1-k^2 sin^2φ)^(3/2)=(1/(k^2(1-k^2)))(-(1-k^2) Z1(k)+Z2(k))
(Z1(ｋ) は第1種完全楕円積分、Z2(ｋ) は第2種完全楕円積分、(その1)参照)
積分区間0〜∞の定積分
∫∞_0 (exp(‐l^2 x^2)) dx=√(π)/(2l)
∫∞_0 (x^2 exp(‐l^2 x^2)) dx=√(π)/(4l^3)
∫∞_0 (x^4 exp(‐l^2 x^2)) dx=√(π)×3/(8l^3)
∫∞_0 (x^6 exp(‐l^2 x^2)) dx=√(π)×3×5/(16 l^3)
…
∫∞_0 (x exp(‐l^2 x^2)) dx=1/l^2/2
∫∞_0 (x＾3 exp(‐l^2 x^2)) dx=1/l^4/2
∫∞_0 (x＾5 exp(‐l^2 x^2)) dx=1/l^6
∫∞_0 (x＾7 exp(‐l^2 x^2)) dx=3/l^8
∫∞_0 (x＾9 exp(‐l^2 x^2)) dx=3×4/l^10
…
∫∞_0 (x＾3/(exp(l x)-1)) dx=π^4/15
∫∞_0 (x sin l x/(m^2+x^2)) dx=πexp(-l m)/2
∫∞_0 (x cos l x/(m^2+x^2)) dx=πexp(-l m)/(2m)
座標変換
円柱座標
x=r cosθ; y=r sinθ; z=z
r = √(x^2+y^2); θ=atn(x/y); z=z
(gradφ)_r=∂φ/∂r; (gradφ)_θ=(∂φ/∂θ)/r; (gradφ)_z=∂φ/∂z
Δ(φ)= ∂^2φ/∂r^2+(∂φ/∂r)/r+(∂^2φ/∂θ^2)/r^2+∂^2φ/∂z^2
div(A_)=∂A_r/∂r+A_r +(∂A_θ/∂θ)/r+∂A_z/∂z
rot(A_)_r = (∂A_z/∂θ)/r -∂A_θ/∂z
rot(A_)_θ =∂A_r/∂z-∂A_z/∂r
rot(A_)_z =∂A_θ/∂r+A_θ/r –(∂A_r/∂θ)/r
（rot(A_)_rはベクトルA_のrotationを取ったベクトルのr方向成分を表しています。）
dV=dr r dθdz
球座標
天頂角をあらわすのに人によっていろいろな文字を使われると思いますがχ(カイ）を使えば
直角座標(x,y,z)⇔円柱座標(r,θ,z)⇔球座標(R,θ,χ)と即座にその問題の取り扱いに都合のよい座標に移ることが出来て便利です。
円柱座標と球座標間の変換
r = R sinχ; θ=θ; z= R cosχ
R=√(r^2+ z^2); θ=θ; χ= atn(r/z)
(gradφ)_R=∂φ/∂R ; (gradφ)_θ=(∂φ/∂θ)/(R sinχ) ; (gradφ)_χ=(∂φ/∂χ)/R
Δ(φ)= ∂^2φ/∂R^2+2(∂φ/∂R)/R+((∂^2φ/∂θ^2)/sin^2χ+∂^2φ/∂χ^2+cotχ∂φ/∂χ)/R^2
div(A_)=∂A_R/∂R+2A_R/R+(∂A_θ/∂θ)/(R sinχ)+(∂A_χ/∂χ)/R+ cotχA_χ/R
rot(A_)_R= (∂A_θ/∂χ)/R +cotχA_θ/R-(∂A_χ/∂θ)/(R sinχ)
rot(A_)_θ=(∂A_χ/∂R)+A_χ/R -(∂A_R/∂χ)/R
rot(A_)_χ=(∂A_R/∂θ)/(R sinχ)–∂A_θ/∂R–A_θ/R
dV=dR R sinχdθRdχ
ベクトル解析
ベクトルA_とB_の外積
(A_×B_)_x=A_y B_z-A_z B_y; (A_×B_)_y=A_z B_x-A_x B_z; (A_×B_)_z=A_x B_y-A_y B_x
rot(rot(A_))=grad(div(A_))-Δ(A_)