カーの解
雑誌などで中心星が回転していて角運動量を持つときシュバルツシルトの解はカーの解になると言うのを見るのですがもちろん式が書いてある事はない。たまたまネットで式を見つけましたのでここに記載します。カー‐ニューマン計量で検索すれば(Google, ＭＳＮ)出てくるのだが期待していないので今までやってみた事がなかった。
添え字0は光速掛ける時間 ｃｔ
添え字1は地球で言えば中心からの距離に対応する変数 ｒ
添え字2は緯度に対応する北極から測った角度変数θ
添え字3は経度に対応する角度変数φ
a=2GM/c^2 とする Gは万有引力定数 Mは中心星の質量
中心星の角運動量をJとする A=J/(cM) と略記
Σ= r^2+A^2 cos^2θ；Λ= r^2-a r + A^2と略記
共変計量の成分 （0でない成分、0でない項のみを表示。書いてない成分、項は0と思って下さい。以後同様）
g_00=-(1-(a r)/Σ)； g_03=g_30= -c A (a r) sin^2 θ/Σ
g_11=Σ/Λ； g_22=Σ； g_33=(r^2+A^2+A^2 (a r) sin^2θ/Σ)sin^2θ
（アンダーライン _ より前は上付き添え字 後は下付添え字）
なお上式のなかで括弧を付けた(a r)の項はもし中心星が電荷Qを持てばa r- (G/(4πε0 c^4)) Q^2となるところですが普通の天体が全体的に電荷を持つ事は無いのでa rだけを考えれば良い。
反変計量の成分
（D=(g_03)^2-g_00 g_33と略記）
反変計量は共変計量の逆行列となるから
g00=-g_33/D=-(r^2+A^2+A^2 (a r) sin^2θ/Σ)sin^2θ/D； g03=g30= g_03/D=-c A (a r) sin^2 θ/(ΣD)
g11=1/g_11=Λ/Σ； g22=1/g_22=1/Σ； g33=-g_00/D=(1-(a r)/Σ)/D
例のごとくアインシュタイン方程式を満足しているのか時間的余裕の有る時計算して見ようと思っています。