フリ-ドマンの解
添え字0は光速掛ける時間 ｃｔ
空間が4次元球面である場合を考える
添え字1は地球で言えば中心からの距離に対応する4次元球面の角度変数 χ
添え字2は緯度に対応する北極から測った角度変数 θ
添え字3は経度に対応する角度変数 φ
4次元ユ-クリッド座標を x,y,z,w とし時刻 t=0 における4次元球面の半径をR0とすると
4次元球面の方程式は w^2+z^2+y^2+x^2= R0^2
w=R0 cosχ; z=R0 sinχcosθ; y=R0 sinχ sinθcosφ; x=R0 sinχsinθsinφ
dw^2+dz^2+dy^2+dx^2=R0^2(dχ^2+ sin^2χdθ^2+ sin^2χdφ^2 sin^2θ) (1)
R0 sinχ=r と変数変換すると χ= arcsin(r/R0) ; dχ=dr/(R0√(1-(r/R0)^2)) これを (1)に代入すると
dw^2+dz^2+dy^2+dx^2= dr^2/(1-(r/R0)^2)+ r^2( dθ^2+ sin^2θdφ^2)
時刻 t=t における4次元球面の半径をRとし R/R0= a (スケ-ル因子)を空間の計量に掛け
時間の計量を付け加えて
ds^2=-(ｃdｔ)^2+ a^2 (dr^2/(1-(r/R0)^2)+ r^2(dθ^2+ sin^2θdφ^2))
=-(ｃdｔ)^2+ a^2 (dr^2/(1-K r^2)+ r^2(dθ^2+ sin^2θdφ^2)) (r/R0)^2 (K=1/R0^2と略記)
ロバートソン-ウオーカー計量の形になる。Kは K=0 さらに K＜0 の場合にも拡張できる。
共変計量の成分 (0でない成分、0でない項のみを表示。書いてない成分、項は0と思って下さい、以後同様)
g_00=-1； g_11=a^2/(1-K r^2)； g_22=a^2 r^2； g_33=a^2 r^2 sin^2 θ
(アンダ-ライン _ より前は上付き添え字 後は下付添え字)
反変計量の成分
g00=1/g_00=-1； g11=1/g_11=(1-K r^2)/a^2； g22=1/g_22=1/(a^2 r^2)； g33=1/g_33=1/(a^2 r^2 sin^2θ)
クリストッフェルの記号の成分
Γ0_11=(1/2)g00(-∂0(g_11))= a`a/(1-K r^2) (∂0は(1/c)∂/∂tを表わす、a`は(1/c)da/dtを表わす)
Γ0_22=(1/2)g00(-∂0(g_22))= a`a r^2
Γ0_33=(1/2)g00(-∂0(g_33))= a`a r^2 sin^2θ
Γ1_01=Γ1_10=(1/2)g11(∂0(g_11))= a`/a
Γ1_11=(1/2)g11(∂1(g_11)) =K r/(1-K r^2)
Γ1_22=(1/2)g11(-∂1(g_22))= - (1-K r^2) r (∂1は∂/∂rを表わす)
Γ1_33=(1/2)g11(-∂1(g_33))= - (1-K r^2) r sin^2 θ
Γ2_02=Γ2_20=(1/2)g22(∂0(g_22)) =a`/a
Γ2_12=Γ2_21=(1/2)g22(∂1(g_22)) =1/r
Γ2_33=(1/2)g22(-∂2(g_33)) =- sinθcosθ (∂2は∂/∂θを表わす)
Γ3_03=Γ3_30=(1/2)g33(∂0(g_33)) =a`/a
Γ3_13=Γ3_31= (1/2)g33(∂1(g_33)) =1/r
Γ3_23=Γ3_32= (1/2)g33(∂2(g_33)) = cosθ/sinθ
リーマンの曲率テンソルの成分
R0_101= -R0_110=∂0(Γ0_11)-Γ0_11Γ1_10 =a``a/(1-K r^2)
R0_202= -R0_220=∂0(Γ0_22)-Γ0_22Γ2_20 =a``a r^2
R0_303= -R0_330=∂0(Γ0_33)-Γ0_33Γ3_30 =a``a r^2 sin^2 θ
R1_001= -R1_010=∂0(Γ1_01)+Γ1_01Γ1_01 =a``/a
R1_212= -R1_221=∂1(Γ1_22)+Γ1_10Γ0_22+Γ1_11Γ1_22-Γ1_22Γ2_21 =(K+a`^2) r^2
R1_313= -R1_331=∂1(Γ1_33)+Γ1_10Γ0_33+Γ1_11Γ1_33-Γ1_33Γ3_31=(K+a`^2) r^2 sin^2θ
R2_002= -R2_020=∂0(Γ2_02)+Γ2_02Γ2_02 =a``/a
R2_112= -R2_121=∂1(Γ2_12)-Γ2_20Γ0_11-Γ2_21Γ1_11+Γ2_12Γ2_12=-(K+a`^2)/(1-K r^2)
R2_323= -R2_332=∂2(Γ2_33)+Γ2_20Γ0_33+Γ2_21Γ1_33-Γ2_33Γ3_32= (K+a`^2) r^2 sin^2θ
R3_003= -R3_030=∂0(Γ3_03)+Γ3_03Γ3_03 =a``/a
R3_113= -R3_131=∂1(Γ3_13)-Γ3_30Γ0_11-Γ3_31Γ1_11+Γ3_13Γ3_13=-(K+a`^2)/(1-K r^2)
R3_223= -R3_232=∂2(Γ3_23)-Γ3_30Γ0_22-Γ3_31Γ1_22+Γ3_23Γ3_23= -(K+a`^2) r^2
リッチのテンソルの成分
R_00= R1_010+R2_020+R3_030=-3a``/a
R_11= R0_101+R2_121+R3_131=(a``a+2(K+a`^2))/(1-K r^2)
R_22= R0_202+R1_212+R3_232=(a``a+2(K+a`^2)) r^2
R_33= R0_303+R1_313+R2_323=(a``a+2(K+a`^2)) r^2 sin^2θ
スカラ-曲率 R= g00 R_00+ g11 R_11+ g22 R_22+ g33 R_33= 6(a``/a+(K+a`^2)/a^2)
アインシュタインのテンソルの成分
G_00= R_00-(1/2) g_00R= 3(K+a`^2)/a^2
G_11= R_11-(1/2) g_11R= (-2a``a-(K+a`^2))/(1-K r^2)
G_22= R_22-(1/2) g_22R= (-2a``a-(K+a`^2)) r^2
G_33= R_33-(1/2) g_33R= (-2a``a-(K+a`^2)) r^2 sin^2θ
現在のような物質優勢の宇宙ではBを定数として物質密度 ρ= B/a^3
エネルギ-運動量テンソルの成分は
T_00=ρｃ^2= Bｃ^2/a^3; T_11=0; T_22=0; T_33=0
アインシュタインの方程式
G_00=(8πG/ｃ^4) T_00から 3(K+a`^2)/a^2=(8πＧ/ｃ^4)B ｃ^2/a^3
(K+a`^2)/a^2=8πＧB/(3ｃ^2 a^3)= b/a^3 (11) ( b= 8πＧB/(3ｃ^2) と略記)
G_11= T_11; G_22= T_22; G_33= T_33から -2 a``a -(K+a`^2)＝0 (12)
(11)より (K+a`^2) a= b 両辺を ｃｔで微分すると a`(-2 a``a -(K+a`^2))＝0
従って(11)が成立すると(12)も成立する
(11)から a`^2= b/a-K ; a`=√(b/a-K)
da/(cdt)=√(b/a-K) ; c dt = da/√(b/a-K) = da√(a)/√((b/K-a) K) (13)
(13)の両辺を積分し ｔ=0で a=0 の条件で積分定数を決めると
K＞0のとき ｃｔ= ((b/2K) arccos(1-2K a/b)-√(a(b/K-a))/√(K) (解はサイクロイド曲線である)
K=0のとき ｃｔ=(2/3) a^(3/2)
K＜0のとき ｃｔ= ((b/2K) arccosh(1-2K a/b)-√(a(-b/K+a))/√(-K)
(arccoshはcoshの逆関数 ( arccosh(x)=ln(x+√(x^2-1)) )
なお参考のため全部下付添え字にしたリーマンの曲率テンソルとワイルのテンソルをここに記載します。
全部下付添え字にしたリーマンの曲率テンソルの成分
R_0101= -R_0110= -R_1001= R_1010= g_00 R0_101=-a``a/(1-K r^2)
R_0202= -R_0220= -R_2002= R_2020= g_00 R0_202=-a``a r^2
R_0303= -R_0330= -R_3003= R_3030= g_00 R0_303=-a``a r^2 sin^2 θ
R_1212= -R_1221= -R_2112= R_2121= g_11 R1_212= a^2 r^2 (K+a`^2)/(1-K r^2)
R_1313= -R_1331= -R_3113= R_3131= g_11 R1_313= a^2 r^2 (K+a`^2) sin^2θ/(1-K r^2)
R_2323= -R_2332= -R_3223= R_3232= g_22 R2_323= a^2 r^4 (K+a`^2) sin^2θ
ワイルのテンソルの成分
C_0101= -C_0110= -C_1001= C_1010= R_0101-g_00 R_11-g_11 R_00 +(1/2)g _00 g_11 R =-(K+a`^2)/(1-K r^2)
C_0202= -C_0220= -C_2002= C_2020= R_0202-g_00 R_22-g_22 R_00 +(1/2)g _00 g_22 R =-(K+a`^2) r^2
C_0303= -C_0330= -C_3003= C_3030= R_0303-g_00 R_33-g_33 R_00 +(1/2)g _00 g_33 R =-(K+a`^2) r^2 sin^2 θ
C_1212= -C_1221= -C_2112= C_2121= R_1212-g_11 R_22-g_22 R_11 +(1/2)g _11 g_22 R = a``a^3 r^2/(1-K r^2)
C_1313= -C_1331= -C_3113= C_3131= R_1313-g_11 R_33-g_33 R_11 +(1/2)g _11 g_33 R = a``a^3 r^2 sin^2θ/(1-K r^2)
C_2323= -C_2332= -C_3223= C_3232= R_2323-g_22 R_33-g_33 R_22 +(1/2)g _22 g_33 R = a``a^3 r^4 sin^2θ