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2003/1/6開設
面白い恒等式を見つけました。
エルミート微分方程式の３種類の表現の解を見つけるまでの途中で、じつは一連の興味ある恒等式を見つけていました。 次のものです。 いまE＝e＾(ｘ^2)とおくと、（∫Eは∫Edxの略、∫は、0-->x を積分範囲とする定積分です。eは自然対数の底。）
E - 2x∫E ＋ 2∫∫E＝1
∫E - 2x∫∫E ＋ 4∫∫∫E＝x ∫∫E - 2x∫∫∫E ＋ 6∫∫∫∫E＝(x^2)/2！ ∫∫∫E - 2x∫∫∫∫E ＋ 8∫∫∫∫∫E＝(x^3)/3！ ∫∫∫∫E - 2x∫∫∫∫∫E ＋ 10∫∫∫∫∫∫E＝(X^4)/4！ ・ ・ はじめここまで導いていて私は、これで満足していました。これらは非常に美しい。 また形がエルミート微分方程式の類似となっている点も興味深い。 さて、上は、先日の恒等式と同じように、微分の方にも拡張できることがわかったのです。 上を逆に書いてみましょう。 ・ ・ ∫∫∫∫E - 2x∫∫∫∫∫E ＋ 10∫∫∫∫∫∫E＝(X^4)/4！ ∫∫∫E - 2x∫∫∫∫E ＋ 8∫∫∫∫∫E＝(x^3)/3！ ∫∫E - 2x∫∫∫E ＋ 6∫∫∫∫E＝(x^2)/2！ ∫E - 2x∫∫E ＋ 4∫∫∫E＝x E - 2x∫E ＋ 2∫∫E＝1 先日と同じ類推から、∫の地上？の世界だけではなく、微分の地下の世界にも沈み込んでいるのではないか？との
予想がたちます。そして、やはり、面白い結果が出ました。
なんと、地下の世界では、次のようになりました。Ｄは微分です。 Ｄ(E) - 2x・E ＋ 0∫E＝0 ＤＤ(E) - 2x・Ｄ(E) - 2E＝0 ＤＤＤ(E) - 2x・ＤＤ(E) - 4Ｄ(E)＝0
ＤＤＤＤ(E) - 2x・ＤＤＤ(E) - 6ＤＤ(E)＝0
・ ・ とこんな風に成り立つのです。とても、自明とは思えません。今度は、右辺が全部０となっているから不思議です。 まとめて書けば、次のようになります。
［ 恒等式（エルミート型） ］
・
・ ∫∫∫∫E - 2x∫∫∫∫∫E ＋ 10∫∫∫∫∫∫E＝(X^4)/4！ ∫∫∫E - 2x∫∫∫∫E ＋ 8∫∫∫∫∫E＝(x^3)/3！ ∫∫E - 2x∫∫∫E ＋ 6∫∫∫∫E＝(x^2)/2！ ∫E - 2x∫∫E ＋ 4∫∫∫E＝ｘ E - 2x∫E ＋ 2∫∫E＝1 Ｄ(E) - 2x・E ＋ 0∫E＝0 ＤＤ(E) - 2x・Ｄ(E) - 2E＝0 ＤＤＤ(E) - 2x・ＤＤ(E) - 4Ｄ(E)＝0
ＤＤＤＤ(E) - 2x・ＤＤＤ(E) - 6ＤＤ(E)＝0
ＤＤＤＤＤ(E) - 2x・ＤＤＤＤ(E) - 8ＤＤＤ(E)＝0
・ ・
これを、恒等式［エルミート型］とでも名付けます。
私は、眺めているだけで十分です。e＾(ｘ^2)は、一体どこまで美しいのでしょうか。
追記
この一連の恒等式の上半分の積分部分の証明は、E - 2x∫E ＋ 2∫∫E＝1を積分して部分積分を実行する作業を
繰り返していけば次々に出てきます。また下半分の微分部分の証明は E - 2x∫E ＋ 2∫∫E＝1をひたすら微分して
いけば自動的に出てきます。証明は全く簡単ですが、式自体の美しさが際立っています。
e^(x^2)の式が見つかれば、「では、e^(-x^2)ではどうなるだろう？類似の式を見つけたい」とずっと思っていました。
そして、ついに、次の一連の式を見つけました。
F＝e＾(-ｘ^2)とおくと、
［恒等式の類似 e＾(-x^2)型］
・
・
∫∫∫∫F + 2x∫∫∫∫∫F - 10∫∫∫∫∫∫F＝(X^4)/4！
∫∫∫F + 2x∫∫∫∫F - 8∫∫∫∫∫F＝(x^3)/3！ ∫∫F + 2x∫∫∫F - 6∫∫∫∫F＝(x^2)/2！ ∫F + 2x∫∫F - 4∫∫∫F＝ｘ F + 2x∫F - 2∫∫F＝1 Ｄ(F) + 2x・F - 0∫F＝0 ＤＤ(F) + 2x・Ｄ(F) + 2F＝0 ＤＤＤ(F) + 2x・ＤＤ(F) + 4Ｄ(F)＝0
ＤＤＤＤ(F) + 2x・ＤＤＤ(F) + 6ＤＤ(F)＝0
ＤＤＤＤＤ(F) + 2x・ＤＤＤＤ(F) + 8ＤＤＤ(F)＝0
・ ・
なんと美しいことでしょう。そして、上記の恒等式（エルミート型）となんと対称的なことでしょう！
e^(x^-2)に関しても恒等式（エルミート型）の類似が成り立つことがわかったのです。
さらに、驚くべきことに、”移動の規則”はe^(x^2)と完全に同じものが成り立つことが判明しました。
e^(-x^2)でも”移動の規則”が成り立つで記しました。
追記
この一連の恒等式の上半分の積分部分の証明は、 F + 2x∫F - 2∫∫F＝1を積分して部分積分を実行する作業を
繰り返していけば次々に出てきます。また下半分の微分部分の証明は、F + 2x∫F - 2∫∫F＝1をひたすら微分してい
けば自動的に出てきます。証明は全く簡単ですが、式自体の美しさが際立っています。
知ってしまう不幸
「知ってしまう不幸」ということをご存知か？
むかしむかし新幹線はなかった
みな新幹線を知らないのだから 東京から大阪まで歩くことができた（状況Ａ）
不平不満をもらすものなど一人もいない
あるとき新幹線が出現した
みな新幹線という存在を知った
東京から大阪まで歩かなければならなくなった（状況Ｂ）
不便だ！不幸だ！不満をもらすものが続出した
ちょっとまて
ＡとＢは物理的に同じではないか
なのにＢは不満続出 Ａは平和そのもの
どちらが幸福？
むかしむかしケイタイはなかった
みなケイタイという存在を知らなかった（状況Ｃ）
知らないのだから なくても平気だった
あるときケイタイが出現した
みながケイタイの味を知った
あるときケイタイがつかえない日がやってきた（状況Ｄ）
みなが叫んだ 不安だ！不便だ！イライラする！
よくみよ
ＣとＤは物理的に同じではないか
知っているか 知らないか それだけの差
Ｃは平和そのもの Ｄは不安でたまらない
ＣとＤは同じではないのか
知ることがほんとうに幸福？
よく考えよ
ＡとＢは同じ ＣとＤは同じだ
なのに一方だけが不安と恐怖にかられている
知っているか 知らないか それだけの差
精神というまーるい果実を食い漁っている魔物がいる
ソレガ シホンシュギ ダ
骨抜きにされてもまだ気付かない・・
Ｍ．Ｓ．
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