等差数列の音楽

まず、図のように、音階C,C#,D,D#,E,F,F#,G,G#,A,A#,B に1,2,3,…,12と番号を付けます。

次に、１２を法とした初項１（C)の等差数列を考えます。等差数列は次の表のように１２種類が考えられます。

公差	数　　　　　　　列
１	1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
２	1,3,5,7,9,11
３	1,4,7,10
４	1,5,9
５	1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8
６	1,7
７	1,8,3,10,5,12,7,2,9,4,11,6
８	1,9,5
９	1,10,7,4
１０	1,11,9,7,5,3
１１	1,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2
１２	1

　上の数列は１周期分です。つまり、この数列がサイクリックに繰り返されるということです。

周期は、12を、公差と12の最大公約数で割った数で決定されます。ですから12音全部の音が現れるのは、ｄ＝1,5,7,11の４通りですね。

　さて、では数列のスケールを聴いてみましょう。３６音（３オクターブ）にしています。楽譜をクリックすると音が聴けます。

公差	譜面	ポイント
２		全音音階（whole tone scale）といわれる。ジャズではブレイクやブリッジのときなど、調性が一時失われるときに用いられる。
３		減音音階（Cdim7の分散音）と呼ばれる、主音から全音,半音が交互に連続してできるフレーズである。ジャズでは経過コードや代理コードによく用いられる。
４		これはCaug（オーグメンテド）コードの分散音である。上の減音音階はC,D,Eの３つのオーグメンテドコードの分散音が集まっていると考えられる。
５		公差５は12と互いに互に素なので、12音全部が1度ずつ現れる。黒鍵と白鍵が２つに分離してでてくるところが面白い。実はこれは完全5度のサイクルによる音階の構成法である。確かマイルスデイビスのラウンドミッドナイトのコーダでこのフレーズのようなカンジのものが出てきたと思う。

　　　初項１、公差１～１１までの等差数列の音列を全部まぜて1曲にしました。　<<等差数列スペシャル>>←ここをクリック

　例えば、第一階差が初項１公差１の等差数列である数列を音符で表すと、

と左右対称のスケールになります。12音階ならば24音が1周期になります。結構面白いフレーズです。第一階差が公差２の等差数列の場合は、

となります。これは6音１周期のへんなアルペジオのメロディーです。

　このような音列を、公差１～１１まで全部まぜて1曲にしました。＜＜階差スペシャル＞＞←ここをクリック

ではついでにフィボナッチ数列でもやってみましょう。フィボナッチ数列を１２を法として表すと

という24の周期を持つ数列になることがわかります。これを、先ほどの手法で曲にしてみます。前奏８小節と、最後8小節に上で述べた階差数列が項差２の等差数列になるフレーズ（奇妙なアルペジオ）を配置しまして曲らしくしました。無調性なのですが、最後は一応Ｋｅｙ　ｉｎ　Aで完結します。　　<<フィボナッチスペシャル>>←ここをクリック

ここでのmidiファイルの作成は加藤一郎さん作成のフリーソフトＭｕｓｅで作っています。